문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 2022학년도 대학수학능력시험/의견 (문단 편집) === [[대학수학능력시험/수학 영역/2015 개정 교육과정|수학 영역]] === [include(틀:관련 문서, top1=2022학년도 대학수학능력시험/의견/수학 영역 해설)] '''<구성·기조 변화>''' * 전체적으로 공통과목은 상당히 어렵게, 그리고 선택과목은 비교적 쉽게 출제하였다. 이과 학생들의 변별력을 확보하면서도 선택과목 간의 유불리 격차를 해소하려는 출제진의 의도가 엿보이는 시험이었다. 11번, 14번, 15번, 20번, 21번 등 외관상 생소한 문제들이 대거 등장하여 수험생들을 혼란스럽게 만들었다. 이들 모두 탄탄한 개념 이해와 문제 상황에 대한 해석 능력이 받쳐주지 않았다면 풀기가 매우 어려웠을 것이다. 예상 등급컷은 [[확률과 통계(2015)|확률과 통계]]은 전년도와 비슷하고 [[기하(2015)|기하]]는 살짝 낮아졌으며 [[미적분(2015)|미적분]]은 N수생이 참여하는 시험이라고 도무지 믿기지 않을 정도로 어마어마하게 낮다. * 이 시험지가 작년 정도의 가형 표본이라면 최소 87에서 최대 90으로 1등급컷이 형성되었을 만한 시험이다. 물론 범위와 문항수, 출제 스타일이 작년과 달라 정확한 예측은 어렵지만. 최종 1등급 컷은, 확률과통계가 89~90점 정도, 미적분이 84~85점 정도,[* 84점의 경우, 공통 -16점, 선택 -0점만 아니라면, 1등급을 받을 수 있다.], [[기하(2015)|기하]]가 86점 정도이다. 만점자 표준점수는 [[미적분(2015)|미적분]] 146점이며, 확률과통계는 141~142점으로 추정, [[기하(2015)|기하]]는 145점이다. * [[미적분(2015)|미적분]]의 도형문제는 예시문항처럼 등비급수 3점, 삼각함수 극한 4점 객관식으로 출제되었으나, 두 문제 다 조금은 까다로워졌다. [[미적분(2015)|미적분]]의 29번 30번은 크게 어렵지는 않으나 식이 다소 지저분하게 출제되었다. 선택과목에서는 공통과목까지 달리, 발상을 어렵게 하기보다, 연산능력을 알아보고자 하는 취지가 강했다. [[기하(2015)|기하]] 역시 과거의 기하적 이해보다 계산에 더 치중한 문제들이 출제되었다. 워낙 조잡한 문제들이 3,4월 학평에 있었는지라 그래도 이번에는 계산이 할만했다. [[2020학년도 대학수학능력시험]] 수학 가형 30번처럼 약간 지저분한 식이 출제될 수 있으니 식이 다소 지저분하더라도 정확하게 계산하는 연습을 해야 한다. * [[2021학년도 대학수학능력시험]] 수학 나형처럼 빈칸 채우기 문제가 등장하지 않았다. >'''공통과목은 2021학년도 수능 가형과 2021학년도 6월 모의평가 가형보다 다소 어렵게 출제'''됐다. >'''공통과목은 2021학년도 수능 나형과 2021학년도 6월 모의평가 나형보다는 매우 어렵게 출제'''됐다. >선택과목 '''미적분은 2021학년도 수능 가형 미적분 파트와 비슷하게 2021학년도 6월 모의평가보다 다소 쉽게''' 출제됐다. >선택과목 '''확률과 통계는 2021학년도 수능 나형과 2021학년도 6월 모의평가 나형 확률과 통계 파트와 비슷'''하게 출제됐다. >'''공통과목이 선택과목보다 어려워서''' 문과 학생들의 실질적으로 더 어려웠을 것으로 보인다. >'''선택과목은 평이'''하게 출제됐고, '''선택 과목별 수준은 비슷'''했다. '''미적분 30번 문항은 2021학년도 수능 가형 30번보다 다소 쉽게 출제'''됐다. >---- >유웨이에서 분석한 6월 모의평가 총평[[http://m.uway.com/info/Uway_Anal/view.htm?CMS_SEQ=159524|#]] 전반적으로 [[2020학년도 대학수학능력시험]] 6월 모의고사나 [[2021학년도 대학수학능력시험]] 6월 모의고사 가형보다 약간 쉽게 나왔다. 그 말은 당연히 이번 6월이 쉬웠다는게 '''절대 아니다.''' 그 당시 가형 기준으로도 1등급컷이 88~89점이었는데 통합시험임을 고려하면 상당히 어려운 편이다. 신유형 문제가 14번이였는데, 이번 시험으로 비유하자면 11번 문항의 함수 평행이동과 22번 문항의 삼차함수 개형 추론 문항이 혼합된 형태이다. ---- '''<문항 분석>''' * [공통] '''수학Ⅰ · 수학Ⅱ''' (1 ~ 22번) * [1] 간단한 지수법칙 계산하기. 예시문항의 1번과 같이 지수가 무리수로 주어졌다. * [2] 부정적분을 구하여 대입하기. * [3] 각을 공유하는 다른 삼각함숫값 구하기. 3사분면의 각이라는 범위를 주의 깊게 보지 않았다면 틀릴 여지가 있었다. * [4] 함수의 기하적 그래프를 보고 우극한과 좌극한 값 구하기. * [5] [[곱미분]] 계산 문제 * [6] 곡선과 직선으로 둘러싸인 영역의 넓이 구하기. * [7] 수열의 합을 이용한 계산문제. * [8] 함수의 연속 판별. 함수식이 간단하니 그대로 제곱해서 연속 판별하는 것이 제일 안전하다. 물론 절댓값을 씌워서 풀 수도 있다. * [9] 흔히 3점 문제로 자주 출제가 되었던, 점화식을 통해 귀납적으로 수열의 규칙성을 찾는 문제이다. 작년 6/9/수능이나 예시문항과 달리 귀납적 추론 문제를 킬러급으로 내지 않고 쉬운 4점 수준으로 출제했다. * [10] 로그방정식 계산문제. 두 곡선의 식을 연립하면 결국 이차방정식 [math(x(x+3)=n)]이 열린구간 [math((1, 2))]에서 실근을 갖도록 [math(n)]의 범위를 찾는 문제가 된다. 관련 개념은 중학교 때 다루었으므로 생소하지는 않았을 것이다. * [11] [math(f(x))]의 식을 주지 않고 [math(y=f(x))]의 그래프의 특성 (평행이동, 주기성, 대칭이동)을 제시하여 정적분의 값을 묻는 쉬운 일반적인 적분 문제이다. 수식만으로 풀 수도 있지만, 가능한 그래프 중 가장 단순한 그래프([math(y=x^5)])를 특정해서 그린 다음 넓이에 대한 문제로 해석하는 것이 쉽다. 미적분을 선택한 학생들에게 다소 유리한 문항이였는데, 치환적분을 이용하면 함수가 더 깔끔하게 정리된다. * [12] 코사인법칙 활용 문제이다. 삼각형 BCD가 이등변삼각형임을 발견하여 삼각형 BDE에서 사인법칙을 적용하거나, 점 D에서 선분 BC에 수선의 발을 내린 다음 삼각비를 적용하여 풀 수 있다. 혹은 삼각형 BCD와 삼각형 CDE가 닮음이라는 것을 발견하여 풀 수도 있다. BE를 a로 놓고 EC를 6-a로 놓고 코사인법칙으로 DE를 구하면 8a-24, 코사인법칙을 다시 써서 a=10/3임을 구하는 풀이도 있으나, 이 경우 매우 복잡한 연산을 감당해야 했다. * [13] 주기함수와 자연수의 거듭제곱의 합을 활용하는 문제이다. [math(x)]가 정수이면 [math(f(x))]의 값이 1이고, 그 외엔 모두 3임을 알 수 있으므로, 구하는 식의 [math(f(\sqrt k))]에서 [math(\sqrt k)]이 정수일 때, 즉 [math(k)]이 완전제곱수 ([math(1^2, 2^2, 3^2, 4^2)]) 일 때만 따로 생각해주면 된다. 주기함수의 가장 원론적인 성질을 물으며, 사용하는 공식도 매우 단순해서 쉬어가는 느낌이 매우 강한 문제였다. * [14] '''신유형'''. 함수의 연속과 미분가능성을 묻는 문제이다. 절댓값을 두 번 적용해야 하는 상당히 복잡한 조건으로 [math(g(x))]가 실수전체의 집합에서 연속이 되려면 곡선 [math(y=f(x))]를 적절히 평행이동한 그래프 [math(y=f(x-p)+q)]가 원점을 지나야 함을 알 수 있다. 또한 (나) 조건에서 [math(g(x))]가 한 점에서만 미분불가능해야 하므로, [math(y=g(x))]의 그래프가 원점에서 x축에 접해야 함을 알 수 있다. 상황 자체는 뻔해서 정확한 논증 없이 대충 극대/극소인 점을 골라 3번으로 찍고 넘어갈 수 있었다. x가 곱해진 xf (x)사차함수를 떠올렸다면 너무 복잡한 경우의 수 때문에 풀기가 사실상 불가능에 가깝다. * [15] 삼각방정식 ㄱㄴㄷ 합답형 문제. 정답은 2번(ㄱ,ㄴ)인데, ㄷ은 삼각함수의 기본 성질인 [math(\sin^2 x+\cos^2 x=1)]을 활용하여 판별할 수 있었다. 역시나 5번 ㄱ,ㄴ,ㄷ으로 찍다가 피를 본 학생들이 많았다. 15번은 다만, 유사한 조건제시 방법은 기출문제에 수두룩하게 나왔으며, 삼각함수에 대한 내공이 쌓여있는 수험생이 실수만 하지 않았다면 충분히 맞출 수 있는 문제였다는 점에서 신유형인 14번이 오히려 더 어렵다. [* 원래대로라면 이 문제가 14번으로 나와야 하지만 15, 22번에 각각 수1, 수2를 내야 해서 14번과 자리를 바꾼 것으로 보인다.] * [16] 간단한 로그 계산 * [17] 다항함수의 극값 계산 * [18] 등비수열 항 계산 * [19] 정적분 단원 속도와 위치 활용 문제 * [20] 정적분으로 정의된 함수가 하나의 극값만을 가지도록 하는 조건을 찾는다는 점에서 2021학년도 수능의 나형 20번의 예비문항으로 보일 정도로 유사한 문제이다. 2021학년도 3월 학평 22번 문제과도 유사하다.[* 다만, 이쪽은 극값이 0개라는 조건으로 제시되어 있고, 평가원 문제보다 계산이 복잡하지만, 아이디어는 같으니 이런 유형에 약하다면 같이 보는 것도 좋다.] 처음에 f (x)와 f (t)를 다른 식으로 분리하지 않고 대충 x를 t에 박았다면 미분값이 0이 나와 당황했을 것이다. x는 적분식 내에서는 상수이긴 하지만, 곱셈꼴이 아니라 상수와 변수의 자동분리가 안되므로 반드시 독립된 식으로 분리해서 풀어주어야 한다. 적분으로 정의된 함수는 네제곱꼴이라 치역이 모두 0 이상이므로, 정적분 값 위 숫자가 더 크면 양수가 된다. 그러므로 3또는 5가 a가 되어버리면 앞의 함수와 같이 부호가 변하므로, 부호가 유지된다. [math(g(x))]의 식을 미분하면, [math(x=a)]에서 [math(g'(x))]의 부호가 바뀌지 않아야 하므로, [math(x=a)]에서 [math(f'(x))]의 부호가 바뀌어야 한다. 즉, [math(f'(a)=0)]인 실수 [math(a)]를 찾으면 된다. * [21] 제곱근의 정의와 관련된 문제. [math(n)]의 홀/짝에 따라 [math(y=x^n)]의 그래프의 개형이 바뀐다는 점을 고려하면 주어진 방정식의 서로 다른 두 실근이 모두 중근이 되기 위해서는 [math(n)]이 짝수가 되어야 한다는 사실을 알아낼 수 있다. 이후 12의 약수 중 짝수만 골라 더하면 24로 끝. 문제 자체는 쉬웠지만 계산하다가 홀수가 안 된다는 것을 간과하고 1, 3까지 더해버려 답을 28로 썼다가 틀린 학생들이 매우 많았다. 12 역시 많이 나온 오답이였다. 작년 6월 수학 가형 21번도 문제 자체는 어렵지 않으나, 낚시에 걸릴 여지가 있게 만들어놨는데, 이번에도 이 출제패턴을 유지했다. 관련 개념은 수학 1 교과서 처음 페이지에 개념 설명으로만 나오고, 실제 문제로 출제된 적은 없는데, 이를 출제했다는 점은 매우 참신하다고 평가할 수 있다. * [22] [[접선]]의 [[방정식]]을 통해 방정식의 실근의 개수를 판별하고, [[삼차함수]]의 그래프의 개형을 추론하는 문제이다. (가) 조건에서 방정식 [math(f(x)=0)]의 서로 다른 실근의 개수가 [math(2)]임이 주어져 있으므로, 그 둘을 각각 [math(a, b)]라 하면, (나) 조건은 방정식 [math(x-f(x)=a)] 또는 [math(x-f(x)=b)]를 푸는 것이 된다. 즉, 곡선 [math(y=f(x))]와 두 직선 [math(x-a)] 및 [math(x-b)]의 교점의 개수를 판별하면 된다. [math(f'(0)>1)] 조건을 이용하여 두 가지 경우 중 하나의 경우를 제거하기 위해서는 삼차함수의 오목볼록성 개념을 이용해야 했다. 미적분 과목의 이계도함수 개념을 자세히 알 필요까지는 없지만, 삼차함수가 [[변곡점]]을 기준으로 접선의 기울기의 증감이 바뀐다는 점은 기억해놓는 것이 좋다. 그래프의 개형을 파악한 후 [math(f'(1)=1)]을 활용하면 [math(f(x))]를 쉽게 구할 수 있다. * [선택] '''확률과 통계''' (23 ~ 30번) * [23] [[이항정리]] * [24] 간단한 [[조건부확률]] 문제 * [25] [[중복순열]] * [26] [[중복조합]] 활용 문제 * [27] 독립시행의 확률 문제. 동전이 총 4개이므로, 2개의 주사위를 던졌를 던졌을 때 나오는 눈의 수의 곱이 1, 2, 3, 4일 때의 4가지 경우로 나누면 어렵지 않게 해결할 수 있다. 경우의 수/경우의 수로 풀어도 무방하다. * [28] 같은 것이 있는 순열을 기반으로 한 경우의 수 문제. 주사위를 4번 던져 얻은 점수가 4점이고 각각의 시행에서 얻을 수 있는 점수가 0, 1, 2, 3점 중 하나이므로, 이에 착안하여 정답을 구할 수 있다. * [29] 원순열과 여사건을 이용한 경우의 수 문제이다, 2와 6이 이웃하거나 3과 4가 이웃하는 경우의 수를 구한 후 전체 경우의 수에서 제외하여 풀 수 있다. * [30] 여사건을 이용한 확률 문제이다. 문제의 조건을 만족하기 위해서는 2와 3이 각각 적어도 1번씩은 나와야 하므로, 여사건의 확률을 구하여 1에서 빼면 정답을 구할 수 있다. 물론 여사건을 이용하지 않고 풀어도 된다. * [선택] '''미적분''' (23 ~ 30번) * [23] 유리화를 포함한 간단한 극한값 구하기 * [24] 매개변수의 미분법 계산 * [25] 접선의 기울기 문제, [math(tan2θ)] 공식을 활용해야 한다. 아니면 tan에 대한 덧셈정리로 양수기울기와 x축의 양의 방향이 이루는 각 a 음수기울기 각 b로 놓고 tan(b-a)로 구했어도 문제를 맞출 수 있었다. * [26] 등비급수 도형 문제로 첫째항은 구하기 매우 쉬웠고, 공비도 사인법칙을 한 번만 사용하면 쉽게 나온다. 특수각이 주어졌다는 점을 착안하여, 수선을 이용하여 삼각비로도 공비를 쉽게 구할 수 있다. * [27] 방정식의 실근의 개수에 대한 문제. [math(x= \frac{9π}{4})]에서 접한다는 걸 활용하면 되었다. 3점치고는 까다로웠다. * [28] 함수의 극한 도형 문제. 미적분 문제 중 가장 까다로운 문제였다. [math(g(θ))]의 경우 각 QRP가 135도임을 이용하여 사인법칙을 활용하여 식을 구할 수 있다. 세 각의 크기를 모두 알 수 있는데도 사인법칙을 적용하지 않고 각의 이등분선의 성질을 이용하려 했다면 식이 너무 길어지게 되어 판단 미스이다.[* 계산 과정에서 분모가 3이 나올 여지가 없어 선택지가 1번, 5번 중 하나가 될 수밖에 없었던 점으로 보아 정답 배치에 신경을 쓰지 않은 듯 보인다.][* 근데 선택과목 객관식 6문항은 지금까지 5선지의 답이 모두 나오고 한 번호만 중복으로 나왔다. 만약 27번까지 잘 풀었으면 2만 중복으로 나오고 나머지는 1을 제외하고 고루 1개씩 나와 바로 1번으로 찍어 맞추기 쉬웠다. 28번을 제외하고는 선택 객관식 중에 크게 어려운 문제가 없었기 때문에 27번까지 잘 풀었으면 거의 무조건 맞출 수 있는 문제였다.] * [29] 미분법 문제. 2020학년도 6월 모의 가형 21번과 비슷한 문제이며, [math(t \ln k=k^2)]에서 [math(k=g(t))]로 놓은 다음에 미분을 활용하여 해결할 수 있는 문제이다. 역함수 미분법으로도 풀 수 있다. 미분한 식을 그대로 또 미분하면 식이 더러워지니 식을 조금 정리하고 풀어야 실수할 가능성이 줄어든다. 어차피 부호변화를 조사하는 게 문제의 핵심이 아니라 식을 변형해도 상관없다. * [30] 곡선과 직선이 만나는 두 점 사이의 거리를 [math(t)]에 대한 식으로 나타낸 뒤 미분을 활용하여 푸는 문제. 지수식을 치환하면 이차방정식의 인수분해가 되는 구조라서 어떻게 해야 할지 감을 잡으면 바로 풀린다. * [선택] '''기하''' (23 ~ 30번) * [23] 2009 개정 교육과정 가형 1번에 자주 등장한 간단한 벡터 연산 문제. * [24] 타원의 접선 문제. 이것도 그냥 계산만 하면 풀리는 문제다. * [25] 벡터 AP의 크기가 고정이라는 점을 파악하여 점 P의 자취인 원의 둘레의 길이를 구하는 문제. * [26] 벡터 합의 크기를 묻는 문제. 제곱해서 전개하여 풀 수도 있고, 아니면 직접 그림을 그려서 풀 수도 있다. 여러 가지 방식의 풀이가 가능하다는 점에서 퀄리티가 높은 문제이다. * [27] 쌍곡선의 접선 문제인데 삼각형의 닮음과 넓이 비를 적절히 활용해야 풀 수 있었다. 미지수도 많이 나와서 3점치고는 많이 까다로웠다. 4점이었던 28번보다도 오히려 오답률이 높게 나오고 있는 중이다. * [28] 순수 타원의 정의를 활용하는 문제. 좌표평면이 주어지지 않았다. 하지만 그 외에 별다른 요소는 없었기에 평이했다. * [29] 포물선의 평행이동을 활용한 고난도 이차곡선 문제. 주어진 문제 상황 자체가 기출에서 자주 다루던 것은 아니었기 때문에 꽤 변별력 있었다. 구하고자 하는 것이 다소 복잡해 보이지만 포물선의 정의를 이용해 정리하고 나면 결국 2a를 구하는 것으로 귀결된다. * [30] 벡터 내적의 최대/최소를 활용한 전형적인 킬러 문제. 최대, 최소를 구하는 과정에서 실수할 여지가 있었다. 답은 48. 최댓값 32, 최솟값 16저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기